預解式（resolvent）
假設你想把一個算子 A 逆過來，但 A 本身沒有乾淨的逆（它無界，甚至可能根本不可逆）。解決辦法是先把它平移：不去逆 A，而去逆「A 減一個數 lambda」。對絕大多數的 lambda，這個平移後的算子「確實」漂亮地可逆，而且其逆是一個你真的能拿來計算的有界算子。這族平移後的逆——每個容許的 lambda 對應一個——就是預解式。它是研究無界算子最有用的單一工具，因為它把關於 A 的難題，轉成關於一個馴服的有界算子的問題。
精確地說：對巴拿赫空間 X 上的閉算子 A 與複數 lambda，預解式為 R(lambda, A) = (lambda I - A)^{-1}，定義在那些使 lambda I - A 成為「從 D(A) 到 X 的雙射且其逆有界」的 lambda 上。這樣的 lambda 所成的集合叫預解集；它的補集就是 A 的譜（那些壞的 lambda，是特徵值的推廣）。求解 (lambda I - A) u = f 就是求解平移後的方程 lambda u - A u = f，而 u = R(lambda, A) f 是它的唯一解——對拉普拉斯算子而言，這恰恰是求解橢圓方程 lambda u - Laplacian u = f，一個你已會處理的問題。所以 -Laplacian 的預解式，是由求解亥姆霍茲型橢圓問題建構出來的。
它在此為何居於核心：整套半群機器都是透過預解式來陳述的。希爾-吉田定理說，A 生成 C_0 半群的充要條件是其預解式對所有大的實 lambda 都存在，並滿足界 norm of R(lambda, A) <= M/(lambda - omega)。半群本身可由預解式以一個拉普拉斯轉換型的公式還原，把 e^{tA} 寫成 e^{t lambda} R(lambda, A) 的圍道積分。而譜的位置（從預解式在何處爆掉讀出）告訴你長時間的衰減率——位於零以下的譜隙，會迫使指數收斂到平衡態。
取 A = Laplacian 於 L^2(Omega) 上並帶狄利克雷條件，lambda > 0。則 R(lambda, A) f = u，其中 lambda u - Laplacian u = f、邊界上 u = 0——一個標準的橢圓邊界值問題，有唯一解。當 lambda 趨於無窮時，norm of R(lambda, A) <= 1/lambda，正是希爾-吉田所要的界。A 的譜是那組負的狄利克雷特徵值，安然地遠離複平面的右側。
把 (lambda I - A) 逆過來，就是求解一個平移後的橢圓問題。
預解式對某個 lambda 存在，並不使 A 可逆——可逆性是 lambda = 0 的特例，即使預解集很大它也可能失敗。而且預解集是開集：剩下的就是譜，對無界算子而言譜可以是無界的，所以「平移得夠遠」正是生成定理的那些界中需要 lambda 取大的原因。