勞侖次系統（Lorenz system）
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1963 年，氣象學家愛德華・勞侖次試圖抓住大氣對流的本質，把一個天氣模型簡化成三個變量裡的三條簡單方程——竟意外撞上了混沌。他從一個由六位數捨入到三位數的值重新執行一次預報，眼看著新的執行與舊的劇烈分離。從那次意外，長出了現代的混沌理論，而勞侖次系統成了它的奠基範例，是每個人最先遇見的那條方程。
勞侖次系統是三條耦合的一階常微分方程：x' = sigma (y - x)、y' = x (rho - z) - y、z' = x y - beta z，其中 x、y、z 大致追蹤一團對流流體的強度與溫度模式，而 sigma、rho、beta 是參數。在經典值 sigma = 10、beta = 8/3、rho = 28 下，系統沒有可落入的穩定不動點、也沒有穩定的環；取而代之的是，每條軌跡都被吸引到勞侖次奇異吸引子上，那個雙翼蝴蝶。運動繞著一片翼轉某個不可預測的圈數，然後跳到另一片，永不安頓、永不重複，同時永遠被界在一個有限區域內。它展現了所有標誌：敏感依賴、正的李雅普諾夫指數、一個分形吸引子。
勞侖次系統的意義遠超氣象學，因為它是第一個乾淨的示範：一個簡單、完全確定性、低維的微分方程系統，能夠真正混沌——推翻了「簡單方程有簡單長期行為」這個令人安心的假設。它是每個混沌概念的標準試驗台（蝴蝶效應就是以它吸引子的形狀命名），也是一個永久的警示：勞侖次自己的教訓是，完美的方程加上不完美的初始資料，使長程天氣預測根本不可能，而不僅是困難。
在 sigma = 10、rho = 28、beta = 8/3 下，從 x = y = z = 1 對勞侖次方程積分。那個點在一片蝴蝶翼上向外螺旋，繞幾圈，翻到另一片翼，再繞，並以一個沒有公式能抄捷徑的順序不斷切換雙翼——永遠有界，卻從不兩次描出同一條路徑。
勞侖次軌跡繞行一片翼，然後不可預測地切換到另一片，永遠如此——三條簡單方程中的混沌。
勞侖次方程是流體對流的一個劇烈三模態截斷，而非字面上的天氣模型——它們捕捉的是混沌起點的定性樣貌，而非定量的預報。而且系統只在合適的參數下（大約 rho = 28）才混沌；當 rho 小時，它有一個完全穩定的不動點，根本沒有混沌。