局部截斷誤差

假設你作弊：你從恰好落在真解曲線上的一點開始走單獨一步。你用你的方法、以完美的資料走一步，然後問——我的落點離真解實際所在之處差多遠？這個落差，亦即從精確值出發只走一步所犯的誤差，就是局部截斷誤差。它是在最仁慈的條件下檢驗方法的誠實度：沒有過去累積的錯誤，只有公式本身單跳一步的誤差。

精確地說，它衡量方法的更新公式在單一步 h 內，與解的真實行為相差多遠。「截斷」這個名字洩了底：一種方法其實是真解的泰勒展開把高階項砍掉，而局部截斷誤差恰恰就是被丟掉那些項的大小。對尤拉法而言，丟掉的項從 (h^2 / 2) * y'' 開始，所以局部截斷誤差是 h^2 的量級——亦即正比於 h^2。一個局部誤差為 h^(p+1) 量級的方法，稱為 p 階。

局部截斷誤差之所以重要，是因為它是一切麻煩的種子。它是最容易算的東西——只要比較泰勒展開——而且直接告訴你方法的階。但它是局部的，是在理想條件下逐步衡量的；你在長程計算結束時實際看到的誤差是全域截斷誤差，大致等於局部誤差乘以步數。常見的經驗法則是：若局部誤差為 h^(p+1) 量級，則全域誤差為 h^p 量級——少了一次冪，因為誤差在約 1/h 步上累積。