尤拉法

尤拉法是沿著解行走最簡單的方式，而且正是你自己會想出來的辦法。你站在一點 (t_n, y_n)。微分方程告訴你那裡的斜率：f(t_n, y_n)。一條帶有該斜率的直線，就是曲線往哪走的最佳直線猜測。於是你沿著那條切線走一小步 h，落到一個新點。然後你忘掉那條線，讀出新點處的斜率，再沿著一條新切線走。一步一步，你用許多微小的直線段假冒出一條曲線。

精確地說，規則是 y_(n+1) = y_n + h * f(t_n, y_n)。讀出來就是：新值等於舊值加上步長乘以舊點處的斜率。就這樣，整個方法只有一行。它直接來自導數的定義——y' 約等於 (y_(n+1) - y_n) / h——重新整理以解出下一個值。因為它只用了你離開的那一點處的斜率，在踏步之前就算好，所以尤拉法是顯式的：未知量 y_(n+1) 單獨出現在左邊，直接算出，無需解任何方程。

尤拉法是整門學科的觀念基礎——每一種更花俏的方法，本質上都是這個切線步的更聰明版本。但作為實用工具它很粗糙。它的全域誤差只有一階：步長減半只讓誤差減半，所以多一位正確數字要付出十倍的工作量。在彎曲的解上，切線總是抄近路切過彎角，微小的誤差一步又一步地累積。它是你用來「理解」的方法，通常不是用來「計算」的方法。