全域截斷誤差

局部誤差是理想條件下單一步的滑移。但真實計算會走上千步，每一步都不是從真曲線出發，而是從上一步留給你的不完美點出發。誤差被繼承下來、再被加上。全域截斷誤差是底線：在所有步驟都跑完、所有小錯誤都堆積並交互作用之後，你算出的值與最終時刻真解之間的總落差。

精確地說，在固定時刻 T 的全域截斷誤差，是真解與走完 N = (T - t0)/h 步後的數值之差 y(T) - y_N。關鍵關係是：要覆蓋固定區間你需要約 1/h 步，每一步貢獻約 h^(p+1) 的局部誤差，所以總和約為 (1/h) * h^(p+1) = h^p。這正是為何全域誤差比局部誤差小一次冪，也是為何我們依「全域」行為稱方法為「p 階」：h 減半，全域誤差就縮小 2^p 倍。

這才是你真正在乎的數字，因為它是你最終答案的誤差。它解釋了為何高階如此划算：尤拉法（一階）要多十倍步數才能多一位數字，而 RK4（四階）同樣十倍的細化大約能多四位數字。但這個故事不會永遠單調下去。當 h 縮向零時，步數爆炸，捨入誤差——有限精度算術無法避免的沙礫——開始成長，最終佔上風。存在一個最佳步長，低於它再縮小 h 反而會讓總誤差變壞而非變好。