捨入誤差與截斷誤差

每個數值答案都是錯的，而且它出於兩個你絕不能混淆、截然不同的原因而錯。一個來自「方法」：用直線步取代平滑曲線、用有限公式取代極限、丟掉泰勒項。另一個來自「機器」：電腦無法精確儲存大多數數，所以每一次算術運算都把結果捨入到固定位數。前者是截斷誤差；後者是捨入誤差；而當你細化時，它們往相反方向拉扯。

精確地說，截斷誤差是離散化誤差——真解與精確的方法公式在完美算術下會給出的值之間的落差。它隨你把步長 h 變小而「縮小」，對 p 階方法像 h^p。捨入誤差是有限浮點精度（標準雙精度約 16 位有效數字）累積的效果；每一步加上一點微小的捨入，而關鍵在於這個貢獻隨 h 縮小而「成長」，因為較小的步意味著更多步、更多捨入要累積，也因為相減幾乎相等的數會喪失精度。總誤差約為截斷（像 h^p 下降）加上捨入（隨 h 下降而上升）。

這個權衡為數值解能有多準確設下一個硬性、誠實的下限。當你縮小 h 時，總誤差下降——由截斷主導——直到你抵達一個最佳步長；在那以下，捨入接管，總誤差又開始上升。把 h 推得比那一點更小，會讓你的答案「變壞」而非變好，同時耗費遠多的計算。這正是為何沒有數值解是精確的，也是為何「乾脆用更小的步」並非萬靈丹。一個好的實踐者知道兩種誤差都存在、大致知道最佳點在哪、且絕不信任方法與機器無法誠實支撐的位數。