贝塞尔不等式

设 e_1, e_2, ... 是一个标准正交系（各为单位向量，两两垂直）。数 <v, e_k> 是 v 沿各方向的坐标——它的傅里叶系数。贝塞尔不等式说这些坐标绝不会超出向量本身：sum_k |<v, e_k>|^2 <= ||v||^2。

证明是勾股定理的一行。令 p = sum_k <v, e_k> e_k 为 v 在该系张成空间上的投影。则 v = p + (v - p)，且 v - p 正交于 p，故 ||v||^2 = ||p||^2 + ||v - p||^2 >= ||p||^2 = sum |<v, e_k>|^2。差距恰是未被表示的剩余的平方长度。

等号 sum_k |<v, e_k>|^2 = ||v||^2 恰在剩余消失时成立——即标准正交系完备（是标准正交基）从而捕获了 v 的全部。这一收紧的等号便是帕塞瓦尔恒等式，它说没有能量泄漏到坐标方向之外。

这是傅里叶分析的主力：它保证傅里叶系数平方的无穷和收敛（受 ||v||^2 控制），这是让无穷维展开严格化的第一步。贝塞尔给出界；帕塞瓦尔在完备性下达到这个界。