勒讓德-芬切爾變換（Legendre-Fenchel transform）
/ luh-ZHAHND FEN-shel /
勒讓德-芬切爾變換是把對數動差母函數轉換為速率函數的代數運算，也是大偏差實踐者每天使用的那一塊凸分析。它解釋了為何 Cramer 定理與 Gartner-Ellis 定理中的速率函數是凸的，並且是動差母函數的「傾斜參數」世界與速率函數的「偏差值」世界之間的精確字典。
給定 R^d 上的函數 f，其勒讓德-芬切爾變換（凸共軛）為 f*(x) = 對 theta 取上確界的 (<theta, x> - f(theta))，其中 <.,.> 是內積。此上確界對每個目標 x 挑選使線性報酬 <theta, x> 與成本 f(theta) 最佳平衡的傾斜 theta。幾何上 f* 記錄 f 的支撐超平面的截距。兩個事實驅動一切：無論 f 為何，f* 永遠是凸的且下半連續；而對凸的下半連續 f，此變換是對合，(f*)* = f（Fenchel-Moreau 定理）。可微性轉化為對偶關係：若 f 光滑且嚴格凸，則當 x = f'(theta) 時 x 與 theta 共軛，此時 f*(x) = theta x - f(theta)。
在大偏差中，人們把此變換用於 f(theta) = log E[e^(theta X)]，即對數動差母函數，又稱累積量母函數。其凸共軛即 Cramer 速率函數 I = f*。由於 f(0) = 0 且 f'(0) = E[X]，共軛 I 恰在 x = E[X] 處為零且 I(E[X]) = 0，把大數法則重現為速率函數的唯一零點。每個 Cramer/Gartner-Ellis 速率函數的凸性，不過是凸共軛永遠是凸的這一陳述；因此非凸速率函數只能來自非共軛的構造，例如收縮原理。
對標準高斯，f(theta) = log E[e^(theta X)] = theta^2/2。其凸共軛為 f*(x) = sup_theta (theta x - theta^2/2) = x^2/2，在 theta = x 處達到。因此高斯速率函數 x^2/2 不過是自共軛的拋物線——二次式在平凡縮放下是它自己的勒讓德變換。
對數動差母函數與速率函數互為凸共軛。
(f*)* = f 要求 f 為凸且下半連續；對非凸的 f，雙重變換 (f*)* 回傳凸包（最大的凸下半連續下界），而非 f 本身。這正是為何純靠勒讓德對偶無法重建非凸地景。