Varadhan 積分引理（Varadhan's integral lemma）
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Varadhan 積分引理是 Laplace 積分漸近法的大偏差推廣。Laplace 法說 integral of e^(n F(x)) dx 在指數階上由 F 的最大值主宰；Varadhan 引理把確定性測度 dx 換成滿足大偏差原理的一族機率測度，使得加權指數積分的指數增長由被積函數與速率函數之間乾淨的變分競爭所支配。它是把大偏差原理轉化為期望值漸近的工具。
假設 mu_n 滿足以良好速率函數 I 為速率函數的大偏差原理，且 F 為連續函數（滿足尾部／動差條件使積分不爆破——通常是對某個 gamma > 1 有 lim sup (1/n) log E[e^(n gamma F)] < 無窮）。則 lim (1/n) log E[e^(n F(X_n))] = 對 x 取上確界的 (F(x) - I(x))。換言之，指數加權平均的指數速率是報酬 F(x) 與到達 x 的成本 I(x) 之間的最佳取捨。這也稱為 Laplace 原理，對良好速率函數而言它與大偏差原理本身邏輯等價：知道對所有連續 F 的變分極限，與大偏差原理是相同的資訊。
Varadhan 引理是計算自由能、配分函數漸近與傾斜測度歸一化的主力，因為這些全都正是對大偏差原理的指數積分。它也是指數測度變換背後的解析引擎：傾斜分布 e^(n F) dmu_n 的歸一化常數正是這樣的積分，故其指數速率為 sup(F - I)。F 的連續性與動差條件不可拋棄——不連續或超指數增長的 F 可能使積分由指數罕見但報酬無界的結果主宰，破壞乾淨的 sup(F - I) 公式。
若 S_n 是 n 個獨立同分布 N(0,1) 的平均（故 I(x) = x^2/2）且 F(x) = a x，則 E[e^(n a S_n)] = e^(n a^2/2)，且確實 (1/n) log 此值為 a^2/2 = sup_x (a x - x^2/2)，此勒讓德值在 x = a 處達到。Varadhan 把動差母函數重現為 sup(F - I) 的最佳化。
Varadhan：指數積分化約為變分 sup(F - I)。
F 的動差／尾部條件（對指數尾部的一致可積型控制，如 gamma > 1 條件）是必要的。若 F 增長過快，或在 I 增長過慢之處無上界，則積分由罕見事件主宰，極限會超過 sup(F - I) 或發散。