Gartner-Ellis 定理（Gartner-Ellis theorem）
/ GERT-ner EL-iss /
Gartner-Ellis 定理是 Cramer 定理超越獨立同分布之和、推廣到相依及其他一般數列的延伸。Cramer 需要獨立同分布結構，才能把對數動差母函數精確算成 n 乘以單變數累積量；Gartner-Ellis 以單一極限對象——極限縮放累積量母函數——取而代之，只要求它存在且表現良好。這使大偏差能應用於馬可夫鏈的加性泛函、帶弱相依的樣本平均，以及許多統計力學量。
設 Z_n 為 R^d 中的隨機向量，定義縮放累積量母函數 Lambda(theta) = lim (1/n) log E[e^(n <theta, Z_n>)]，假設對每個 theta 此極限作為廣義實數存在。若 Lambda 在原點鄰域內有限，且本質光滑與下半連續（「陡峭性」假設），則 Z_n 滿足以良好凸速率函數 I = Lambda* 為速率函數的大偏差原理，即 Lambda 的勒讓德-芬切爾變換。因此相依的全部效應都被吸收進單一函數 Lambda；一旦有其極限，便如同 Cramer 那樣變換並精確讀出速率函數。
陡峭性假設（本質光滑：Lambda 在其有限定義域內部可微，且梯度在邊界處爆破）是不可拋棄的條件——它保證完整下界，並保證速率函數是真正的勒讓德變換而非僅其凸包下界。若無本質光滑，Gartner-Ellis 仍給出速率為 Lambda* 的上界，但下界可能失敗，真正的速率函數在某些點可能是非凸的且嚴格大於 Lambda*，因為勒讓德對偶永遠只能產生凸函數。
對於有限不可約馬可夫鏈的加性泛函 Sum f(X_k)/n，縮放累積量母函數 Lambda(theta) 等於傾斜轉移矩陣 P（其分量為 P(i,j) e^(theta f(j))）的 Perron-Frobenius（最大）特徵值的對數。對此特徵值微分並作勒讓德變換，便得到時間平均的速率函數——這在獨立同分布的 Cramer 框架下無法計算，因為 X_k 相依。
相依被吸收進單一極限累積量函數 Lambda；再作變換。
Lambda 的本質光滑（陡峭性）是完整大偏差原理所必需的。沒有它通常仍得到速率為 Lambda* 的上界，但下界與真實速率函數的凸性可能失敗，且 Lambda* 可能低估真實成本。