茹科夫斯基映射（Joukowski map）

這裡有一個共形映射，其成名之由格外具體：它把圓變成翼型，即飛機機翼的橫截面。早在電腦能模擬氣流之前，工程師就用這個優雅的單一公式設計機翼，其升力能真正用手算出。茹科夫斯基映射是圓的容易幾何與機翼的困難幾何之間的橋樑。

其公式為 w = (1/2)(z + 1/z)，常省去 1/2 寫作 w = z + 1/z。要看出它的特性，把 z 放在單位圓上，z = e^(i theta)；則 w = (1/2)(e^(i theta) + e^(-i theta)) = cos theta，當 theta 繞行一圈時掃過 -1 到 1 的實線段。因此茹科夫斯基映射把單位圓壓平到一條線段上（一個「退化的翼型」）。其導數 w' = (1/2)(1 - 1/z^2) 在 z = 1 與 z = -1 處為零，故那是臨界點；茹科夫斯基翼型尖銳的後緣正來自臨界點 z = 1 處的角度加倍。取一個通過 z = 1 但略為偏移並放大的圓，其像便是一個在後緣帶有尖點的平滑翼形。此映射一般是二對一的（z 與 1/z 給出相同的 w），故你必須限制在單位圓的外部（或內部），才能使它成為真正的共形雙射。

其重要性有二。數學上，它是「臨界點如何製造出角」的典範例子，且（限制在單位圓盤外部時）把該外部共形地映滿沿 [-1, 1] 切割的平面。物理上，它讓你能把理想流體繞圓柱的簡單已知流動移植成繞機翼的流動——再由該流動，透過庫塔-茹科夫斯基定理，讀出升力。一個警告：翼型的故事是一種理想化（無黏、不可壓縮流）；真實機翼涉及黏性與邊界層，而這幅乾淨的複分析圖像把它們略去了。