聯合機率質量函數與聯合機率密度函數（joint pmf / joint pdf）

聯合分布是概念；聯合 pmf 或 pdf 則是你實際拿來計算的具體公式。它是普通 pmf（用於取離散值的變數）與普通 pdf（用於連續變動的變數）的雙變數表親。

對離散的 X 與 Y，聯合 pmf 是 p(x, y) = P(X = x「而且」Y = y)：一張機率表，每一格對應一對值，全部非負且整張表加總為 1。要算任何事件的機率，就把該事件涵蓋的格子加起來。對連續的 X 與 Y，聯合 pdf f(x, y) 是平面上方的高度；機率是該曲面下的「體積」：P((X, Y) 落在區域 A) = f(x, y) 在 A 上的二重積分。整片曲面積分為 1。和單變數一樣，密度本身不是機率 —— 它可以超過 1 —— 只有區域上的體積才是機率，而任何單一精確點的機率為零。

從聯合 pmf 或 pdf 你可以算出後續的一切：把另一個變數加總或積分掉得到邊際；相除得到條件分布；用無意識統計學家定律對 f 加總或積分得到函數 g(X, Y) 的期望值；以及共變異數與相關係數。它是整個多變數圖景的主力工具。