聯合分布、共變異數與相關
條件密度（conditional density）
對連續變數有個麻煩：事件 X = x 的機率為零，所以慣用的條件機率公式會除以零。然而詢問在已知 X 基本上等於某個精確值 x 之後 Y 如何分布，顯然是有意義的。條件密度藉由改用密度而非機率來化解這個問題。
其定義仿照離散情形，只是改用聯合 pdf 與邊際 pdf：f_{Y|X}(y | x) = f(x, y) / f_X(x)，在邊際 f_X(x) 為正之處有定義。從幾何上看，用 X = x 處的鉛直平面去切聯合密度曲面；那片切面是一條關於 y 的曲線，除以 f_X(x) 會把這條曲線重新縮放，使其面積變為 1 —— 一個 Y 的合法單變數密度。所以你取聯合分布在 x 處的那一薄片並予以正規化。
這是連續貝氏更新、迴歸與條件期望背後的引擎：E[Y given X = x] 就是這個條件密度的平均值。當條件密度隨 x 移動而不改變 —— 當每片鉛直切面形狀都相同 —— X 與 Y 便獨立，聯合分布也分解為邊際的乘積。
若 (X, Y) 為相關係數 rho 的二元常態，則 Y 在已知 X = x 時的條件密度仍是常態，其平均值隨 x 線性滑動（mu_Y + rho (sigma_Y / sigma_X)(x - mu_X)），且變異數較小且固定，為 sigma_Y^2 (1 - rho^2)。得知 X 會移動中心並收緊分散程度。
在二元常態情形下，對 X 條件化會同時移動並收緊 Y 的分布。
對每個固定的 x，f_{Y|X}(y | x) 是關於 y 的密度而非機率 —— 它對 y 的積分為 1，但單一值可以超過 1。它只在邊際 f_X(x) > 0 之處有定義。
又称
另见