联合生存与最后生存状态（joint-life and last-survivor statuses）

到目前为止，每一笔给付都只取决于一个人。但许多真实的承诺同时系于两条（或更多）生命——夫妻的养老金、遗属给付、家庭保单。两条生命可以用两种相反的方式定义一个有「生死」的状态。联合生存状态只在两人都还活着时存续；一旦其中先死的那个去世，它就终止。最后生存状态只要还有至少一人在世就存续；只有当最后一人去世时它才终止。一份在配偶中先去世者身故时即停的联合年金，用的是联合生存状态；一份持续支付到两人都去世为止的遗属年金，用的是最后生存状态。

一旦你能算出某状态仍「存活」的概率，先前的全套机理——保险、年金、纯生存保险——便可原样照搬，只需用状态替换单一生命。两种状态由一个简单且极其有用的恒等式相连：联合生存的值（或概率）加上最后生存的值，等于两个单一生命值之和。用文字说，联合加最后生存等于个体一加个体二。所以若你知道每人的年金和联合生存年金，最后生存年金就是 ä_x + ä_y - ä_{xy}。例如，两份单一生命年金分别值 12 和 14，联合生存年金值 10，则最后生存年金为 12 + 14 - 10 = 16——它付得最久，所以最贵。

这些状态对养老金和夫妻类产品至关重要，那里遗属给付是常态。最大的诚实提醒是「独立性」：这些干净的公式假设两条生命彼此独立地死亡，但现实中夫妻的寿命是相关的——共享的环境、生活方式，以及有据可查的「心碎效应」，即一方去世会抬高另一方的死亡率。把相关的生命当作独立处理会使估值产生偏差，通常会让联合年金看起来更便宜、最后生存给付看起来比真实更贵。