生成元與局部翻轉速率（generator and local flip rates）

若組態空間與 Feller 理論告訴我們交互作用粒子系統存在，那麼生成元與其局部翻轉速率便告訴我們它是哪一個系統。生成元 L 是動態的無窮小描述：它對系統能做的每個局部變化，編碼出在當前組態下該變化發生的速度。IPS 的一切分析性質——不變測度、守恆量、對偶、流體動力學行為——皆由 L 讀出。熟悉有限 CTMC 的 Q 矩陣的讀者，應把 L 想成（形式上）無窮維的 Q 矩陣：同一個對象 (Lf)(eta) = sum over 各種可能轉移 of [速率] 乘 [f(之後) - f(之前)]，只是現在每個（位點, 組態）配一項。

具體而言，對自旋翻轉系統，生成元作用在局部函數 f 上為 (L f)(eta) = sum_{x in S} c(x, eta) [ f(eta^x) - f(eta) ]，其中 c(x, eta) >= 0 是組態為 eta 時 x 處自旋翻轉（0 變 1 或 1 變 0）的速率，eta^x 表示把 eta 在 x 座標翻轉後的組態。模型的局部性完全寓於速率中：c(x, eta) 僅依賴 eta 在 x 的有限鄰域上的限制（有限程），而平移不變性意味著 c(x, eta) = c(0, tau_{-x} eta)，tau 為平移。對守恆（粒子守恆）系統，則改用交換速率 c(x, y, eta)，生成元為 (L f)(eta) = sum_{x, y} c(x, y, eta) [ f(eta^{x,y}) - f(eta) ]，其中 eta^{x,y} 把 x 與 y 的內容互換。測度 mu 為不變的充要條件是對所有局部 f 有 integral L f dmu = 0（平穩主方程），而當它滿足此恆等式的細緻平衡形式時為可逆；Dynkin 公式 f(eta_t) - f(eta_0) - integral_0^t (L f)(eta_s) ds 是鞅，乃幾乎每一項計算背後的分析引擎。

翻轉速率是做出建模選擇之處，速率的細微差異可產生性質迥異的物理。投票者速率是意見相左的鄰居比例；接觸過程速率是以 lambda 乘被感染鄰居數的速率出生，再加上速率 1 的死亡；Glauber（伊辛）速率以依局部能量變化的速率翻轉自旋，調校使吉布斯測度可逆。一個誠實的提醒：上述 L 的公式只是定義在局部（柱）函數上的預生成元。要得到真正的馬可夫半群，必須取其閉包並驗證 Hille-Yosida／Liggett 條件；真正生成元的定義域更大、更難描述，許多看似自然的計算僅在局部函數構成的核（core）上有效，須以逼近加以證成。