區間運算（interval arithmetic）

一般的浮點計算給你一個單一數字，外加一份「但願它接近真值」的模糊期望。區間運算給的是保證：它不攜帶一個近似值，而是攜帶整個區間 [low, high]，並在數學上確定這個區間含有真值。把它想成：你追蹤的不是一個點，而是一個「保證包住真值」的盒子，盒子隨計算推進而縮小或放大，使最終的盒子嚴格地框住精確答案。

其機制是把每個數字換成一個區間，並重新定義算術，使結果區間保證包住每一個可能的精確結果。例如 [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]，而 [a, b] 乘 [c, d] 是含有「各取一端點之所有乘積」的最小區間。為了在真實電腦上保持嚴格，每個下界都向下捨入、每個上界都向上捨入（向外捨入），使浮點捨入永遠無法讓真值逃出區間。整個演算法這樣跑下來，輸出區間就是對答案的、由機器證明的認證界——一種事後（a posteriori）誤差控制。

要坦白說出取捨。區間運算給出嚴格、有保證的界，這對電腦輔助證明與安全關鍵的結果極為寶貴——但天真的版本受困於「相依性問題」：因為它忘記同一變數出現了不只一次，區間會悲觀地變寬，誇大真實的不確定性（例如 x - x 被算成一個寬區間，而非恰好為 0）。它也比純浮點貴上數倍。熟練的運用（中心形式、分割定義域）能收緊界限；它是一個專家工具，用於「需要的是認證的包圍，而不只是一個好估計」之時。