捨入模式

當一個真實結果嚴格落在兩個可表示機器數之間時，電腦必須挑一個——而捨入模式（rounding mode）就是它遵循的規則。多數時候你從不去想它，因為預設會做那個顯而易見、合理的選擇，但這規則有精確定義、且你可以更改，這對謹慎的數值計算與取得可重現結果都很重要。

IEEE 754 定義了四種捨入模式。預設是「最近捨入，平手取偶」：挑兩個鄰居中較近者，而當某值恰好落在正中間時，選最後一個位元為 0（偶數）者。「平手取偶」這個微調避免了單純「逢半進位」會引入的一種細微統計偏差——經過大量捨入，逢半進位會向上漂移，而取偶捨入則無淨漂移。其餘三種是定向捨入：朝向 +無窮（向上取整）、朝向 -無窮（向下取整）、以及朝向零（截斷）。定向模式是區間運算的引擎——你刻意把一邊界往上捨、另一邊界往下捨，以嚴格地把真實答案夾在中間。

模式的選擇正是使「fl(x op y) = (x op y)(1 + delta) 且 |delta| <= u」在 u = 2^(-p) 下成立的原因：只有最近捨入能達到那個最小可能界限，因為你永遠不會偏離超過半步。截斷（朝零捨入）——天真的整數轉型與某些舊硬體所用——可能差上兩倍，並系統性地把結果偏向零。所以除非你在做區間運算、或追求特定的可重現目標，否則就把模式留在最近捨入取偶——並要知道切換它可能在不同執行或不同機器間悄悄改變結果。