任意精度算術（arbitrary-precision arithmetic）

硬體整數住在一個固定大小的盒子裡——64 位元，可容納到約 920 京的數——超過就溢位。但數學沒有這種上限：100! 有 158 位數，而一把密碼學金鑰長達數百位。任意精度算術正是這樣的技巧：把一個數橫跨它所需的任意多個機器字來表示，使它能成長到數千、數百萬位，僅受記憶體所限，而對它的每個運算都是精確的。

其想法是換到更大進位制的小學算術。一個大數以一個「數字」陣列保存，每個數字其實是一整個機器字（所以進位制是 2^32 或 2^64，而非 10）。加法從一個字進位到下一個字，就像你在紙上從一欄進位到下一欄；用課本方法把兩個 n 字的數相乘要花 O(n^2) 次字乘法，而聰明的演算法（卡拉楚巴，再到以 FFT 為本的方法）能把巨大的數降到接近 O(n log n)。因為從不捨入，2^1000 被算到它精確的最後一位，巨大的階乘、精確的冪次與大行列式都完美算出。這是電腦代數系統底下的基石：每個精確整數，以及每個精確分數的分子與分母，都是一個大數。

任意精度在凡是精確不可妥協之處都至關重要：密碼學（RSA 把數百位長的數相乘）、數論，以及符號計算內部的精確整數與有理數算術。誠實的提醒是成本——大數遠慢於 64 位元加法所需的單一硬體指令，而且它們的大小（以及對它們做運算的時間）會隨著數本身成長。這是表達式膨脹的引擎之一：一個精確的計算可能正確卻爬得極慢，因為它的中間數字已悄悄膨脹到數千位。