符號計算與數值計算（symbolic vs numerical computation）

假設你叫電腦算三分之一。數值的答案是 0.3333333333333333——一個快速、有限、略有偏差的小數。符號的答案則是分數 1/3，以一對整數保存，永遠精確地等於三分之一。這是用數學做計算的兩種完整風格：一種以硬體所能達到的速度玩弄近似的數，另一種像你手算那樣操弄精確的符號與公式。判斷一個任務該用哪一種，就成功了一半。

數值計算使用浮點數——固定大約十六位十進位有效位數的預算——以一個微小、可控的誤差換取龐大的速度與規模。符號計算（電腦代數）則把數學物件精確地表示：整數 1/3、符號 pi、未求值的表達式 x^2 + 2x + 1，甚至把 sqrt(2) 當成「平方後等於 2」的那個東西。它能化簡、微分、因式分解，並以封閉形式求解，給出的答案不只是接近，而是可證明地正確。代價是精確的中間結果可能在大小與時間上爆炸性成長（表達式膨脹），所以符號方法很少能擴展到數值方法輕鬆應付的大型問題。粗略的法則是：若你需要一條公式、一個證明，或完美的抵消，就用符號；若你需要從一個又大又雜的問題裡得到一個數，就用數值。

兩者沒有誰絕對較好，而最強大的工具是混合式的：先符號地推出公式，再數值地求值；或只在捨入會釀成大禍之處才動用精確算術。誠實的說法是：符號計算以可擴展性為代價買到精確，數值計算則以一個（通常極小、通常被理解的）誤差為代價買到速度與規模。把其中一者當成另一者的全面升級版，正是經典的初學者錯誤。