上溢與下溢

每種浮點數格式都只能命名某個有界大小範圍內的數。把結果推過最大可表示值就「上溢（overflow）」；把它擠到最小可表示非零值之下就「下溢（underflow）」。可想成一個會跑滿格的汽車里程表，或一台太粗、量不出一根羽毛的秤：你想要的那個數在該格式裡根本沒有容身之處。

上溢發生在結果超過最大有限數時（雙精度中約 1.8 * 10^308）。在 IEEE 754 下它不會當掉；結果會變成 +Inf 或 -Inf，並設置上溢旗標，那個無窮接著傳播到計算的其餘部分。下溢發生在某非零結果的大小小於最小正規數時（約 2.2 * 10^(-308)）。多虧次正規數，值會「漸進」退化——先變成精度降低的次正規數，最後才到 0——而非直接跳到零，這正是「漸進下溢」的意思。

兩者通常都是「公式撰寫時未顧及尺度」的症狀。經典例子是歐氏長度 sqrt(x^2 + y^2)：若 x = 1e200，則 x^2 = 1e400 上溢成 Inf，結果即為 Inf，儘管真實答案是完全可表示的 1e200。解藥是重新縮放：提出最大的大小 m = max(|x|,|y|)，再計算 m * sqrt((x/m)^2 + (y/m)^2)——這正是好的函式庫中 hypot 函數所做的。下溢則可能悄悄把一個需要的小量（一個機率、一個殘差）沖刷成 0；補救之道是改在對數空間運算、重新縮放、或重排運算讓中間值保持在範圍內。