用變號區間夾住根（bracketing a sign change）

如果你從海平面以下的山谷一路爬到海平面以上的山峰，那麼沿途某處你必定恰好越過海平面——不可能不經過就從下方到達上方。這個常識化為精確說法，就是介值定理，它是每一個夾根求根法的根基。

形式上：若 f 在區間 [a, b] 上連續，且 f(a) 與 f(b) 正負號相反，則 (a, b) 中至少存在一點 c 使 f(c) = 0。滿足 f(a) * f(b) < 0 的一對 (a, b) 稱為一個夾根區間（bracket）：它是一張「根被困在內部」的保證書。夾根法（二分法、regula falsi、Brent）成敗全繫於維持這個不變量——每一步都保留一個兩端仍跨越零的子區間，使根無從逃脫。實務上要找起始夾根區間，你會在一格格點上掃描 f，觀察相鄰兩點之間正負號何時翻轉。

誠實之處藏在細節裡。連續性不可或缺：有跳躍的函數（如 0 附近的 1/x）可以變號卻從不為零，所以表面上的夾根區間可能夾住的是極點而非根。正負號檢驗也會漏掉只觸碰零而不穿越的根——偶重根如 (x - 2)^2 在兩側保持同號，沒有任何夾根區間能偵測到它。此外，一次變號保證區間內有奇數個根，未必恰好一個；要分開靠得很近的根可能需要更細的掃描。