重根（multiple root）

大多數根乾淨地穿越軸：曲線從上方下來，通過零，繼續到下方——這是單根。重根不同：曲線觸碰零後轉回而不穿越，或在通過時變平，貼著軸逗留。代數上，因式 (x - r) 在 r 附近出現不只一次，而這種「逗留」使根既更難偵測，也更難準確計算。

形式上，r 是重數 m 的根，若 f(r) = 0，且導數 f'(r)、f''(r)、...，一直到第 (m-1) 階全都消失，而第 m 階不為零。對多項式這就是 (x - r)^m 因式：x^2 = 0 在 0 處有雙重根（m = 2）；(x - 1)^3 有三重根。對求根的後果是真實的。第一，偶重根處的變號夾根「失效」，因為 f 不變號——二分法與 regula falsi 根本無法起步。第二，更陰險的是，牛頓法在重根處「失去」它的二次速度：因為 f' 在那裡也消失，誤差遞迴變成 e_{n+1} 約等於 ((m - 1)/m) * e_n，僅為「線性」，且重數越高、減速越嚴重。

還有一個無法逃脫的精度天花板：重根本質上「病態」。雙重根附近 f 幾乎平坦，所以 f 中大小為 epsilon 的浮點雜訊，對應到 x 中約 sqrt(epsilon) 大小的不確定——對雙精度而言，你只能信任約「一半」的位數（大約 8 位而非 16 位）。補救之道是找出重數 m 並用修正的牛頓步 x_{n+1} = x_n - m * f(x_n)/f'(x_n)（恢復二次階），或對降階函數 f/f'（其根全為單根）施以牛頓法，或經由伴隨矩陣特徵值計算多項式的根，後者更從容地處理叢聚的根。