二次收斂（quadratic convergence）

逼近答案有慢的方式，也有快的方式。線性收斂每步削去誤差的固定一部分——像每年還 10% 的債。二次收斂做得驚人地好：它每步大致把誤差「平方」，於是正確位數加倍。三位正確變六位、再變十二位、再變二十四位。幾步之後就直接結束了。

精確地說，收斂到 x* 的數列 x_n 具有階數 p，若誤差 e_n = x_n - x* 對所有夠大的 n 滿足 |e_{n+1}| <= C * |e_n|^p（某常數 C）。p = 1（且 C < 1）為線性；p = 2 為二次；介於 1 與 2 之間者稱為超線性。對二次階，一旦誤差變小，平方它便使之驟降：若 e_n 約為 10^-3，則 e_{n+1} 約為 C * 10^-6，下一個約為 10^-12。牛頓法在單根處達到 p = 2，因為它的誤差遞迴為 e_{n+1} 約等於 (f''(x*) / (2 f'(x*))) * e_n^2——線性項抵消，只剩平方項。

兩個誠實的提醒讓這件事保持分寸。第一，平方效應只在你「夠近」（落在根附近的吸引盆）時才啟動；遠處的二次收斂法可能行為不穩，甚至完全不收斂。第二，階數是方法「在某個問題上」的性質：牛頓法在「重根」處（f' 也消失）退化為僅線性收斂，而問題本身病態時，無論階數多高，可達到的精度都會被條件數封頂。高階很美妙，但它救不了糟糕的起始猜測或病態的根。