瞬時平滑化（instantaneous smoothing）

把你能想到最醜的初始資料交給一條擴散方程——一個鋸齒狀、不連續、勉強可積的剖面——然後問它一瞬間之後長什麼樣。令人驚奇的答案是：完美光滑。不是變得較光滑、不是最終會光滑，而是對每個 t > 0（無論多小）都無窮可微。粗糙在時鐘啟動的那一刻就被抹除了。這就是瞬時平滑化，拋物型方程最具特色、最令人意外的性質，也是整個領域的抽象核心。

具體來說：若 u 在某區域上解 u_t = Laplacian u（或任何拋物型方程），則對每個 t > 0，剖面 u(., t) 都是 x 的 C^infinity 函數——事實上對 x 是實解析的、對 t 也解析的——即便初始資料 u_0 僅是一個毫無導數的 L^1 或 L^2 函數。其機制在熱核中一目了然：u(x, t) = integral of K_t(x - y) u_0(y) dy 是對一個無窮光滑的高斯 K_t 的卷積，而任何東西對一個光滑核卷積都產生光滑的結果；核的光滑度被答案所繼承。半群版本就是來自解析性的估計 norm of A e^{-tA} u_0 <= (C/t) norm of u_0：施加一個導數只花 1/t，所以你能以一個（仍有限的）1/t 冪次為代價施加任意多個導數。對所有階數迭代，便得到 C^infinity。

它為何重要，以及誠實之處何在。平滑化正是拋物型正則性理論存在的理由：允許粗糙資料，然而對正的時間解卻要多好有多好，這恰恰讓你能把弱解自舉成古典解，並運行非線性不動點論證。但平滑化有一個反方向的代價：它是不可逆的。由於前向流毀掉了關於精細結構的資訊，你無法把它倒著跑——逆向熱方程是不適定的（哈達瑪）。前向平滑與後向不適定，是同一支時間之箭的兩個面向。對照波動方程，它「毫無」平滑化：初始資料中的一個尖角永遠保持為尖角，沿著特徵線一路傳播。