內部正則性（interior regularity）

你餵給 PDE 一些粗糙的資料，然後問：在區域中央、遠離邊緣的地方，解有多漂亮？對橢圓與拋物方程，答案令人愉快——解在內部比你從資料所能合理期待的還要光滑，即使資料勉強連續，解往往是完美光滑的。方程會在內部把自己的解拋光。內部正則性研究的正是「光滑了多少」以及「為什麼」。

精確地說：若 Laplacian u = f 在某區域上成立，則以合適的尺度衡量，u 比 f 多光滑兩階導數。若 f 是赫爾德連續的，舒德估計說 u 有赫爾德連續的二階導數，並有一個內部界，用稍大集合上的資料來控制任一緊緻子集上的這些導數。若 f 在某 L^p 空間中，卡爾德隆-齊格蒙估計把 u 放進多兩階 L^p 導數的索伯列夫空間。最高潮的事實：調和函數（f = 0）在內部是實解析的——無窮可微，等於自己的泰勒級數。「內部」這個詞是有實質作用的：這些是嚴格落在區域內部的緊緻片上的估計。邊界需要另行處理，因為解可能緊貼著邊緣很粗糙、內部卻很光滑。

這之所以重要，是因為它讓你能自我提升：先在某個粗糙空間裡證明弱解存在，再反覆用內部正則性把它升級成一個方程逐點成立的真正古典解。它也解釋了一個乾淨的二分。橢圓與拋物方程會平滑——資料中的奇異性在內部被抹去。像波動方程這樣的雙曲型方程「不」平滑——初始資料中的折角會沿著特徵線傳播、永遠保持折角。所以內部正則性是擴散型、而非波動型行為的標記。