橢圓正則性（elliptic regularity）
當你用能量法求解橢圓方程時，起初只得到一個弱解——一個僅在均方意義下擁有一階導數、就你所知或許參差不齊的對象。橢圓正則性是個了不起的發現：這份擔憂並無根據，橢圓方程迫使其解遠比你放進去的更平滑。解自動地與資料和邊界所容許的一樣平滑；若一切都無限平滑，解亦然。平衡把皺褶熨平。
其引擎是一個「增益導數」的估計。內部版本說：若 L u = f 且 L 為係數平滑的橢圓算子，則 u 比 f 多出兩階導數，並受 f 控制。在索伯列夫尺度上，若 f 屬於 H^k，則 u 在局部屬於 H^(k+2)，並有形如 u 的 H^(k+2) 範數不大於某常數乘 (f 的 H^k 範數加上 u 的 L^2 範數) 的界。直觀很乾淨：方程讀作 (u 的最高階導數) = f 減去 (低階雜項)，故 u 的兩階導數就跟 f 一樣好。現在自舉：起初 u 僅在 H^1；方程給出 u 在 H^2；回饋進去便賺得 H^3；如此迭代。每一輪買到多兩階導數，直到 f 的平滑度用盡。若 f 屬於 C-infinity，則 u 屬於 C-infinity；若資料是實解析的，u 甚至解析。
這正是為何先獵取弱解、之後再操心古典解是正當的——正則性理論免費把弱解轉成古典解，只要資料配合。整個故事有三條平行的尺度，每條都有自己的大定理：索伯列夫 H^k 估計、賀德爾的史考德估計（針對賀德爾連續的係數）、以及 L^p 的卡爾德隆-齊格蒙德估計。在邊界附近，只要邊界夠平滑，同樣的增益也成立。乾淨故事唯一破功之處是粗糙的係數——那裡「增益完整兩階導數」失效，你需要更深的德喬治-納什-莫澤理論。
設在一平滑區域上 - Laplacian u = f，其中 f 連續但處處不可微。你或許擔心 u 勉強二階可微，然而史考德估計（若 f 為賀德爾連續）讓 u 真正在直到邊界皆 C^2；若你把 f 稍微抹平——使其 C^infinity——則 u 為 C^infinity。f 的皺褶從不被放大；它們被整整兩階微分所軟化。
進去兩階、出來多兩階——橢圓增益反覆迭代，便是通往完全平滑的自舉。
增益兩階導數需要係數本身夠平滑；在僅有有界可測係數時，你得不到 C^2 的解，只有賀德爾連續（德喬治-納什-莫澤）。此外，正則性是局部的且依賴邊界：區域中的一個凹角可以釘住解中的一個奇異性，無論 f 多麼平滑。