德喬治-納什-莫澤定理（De Giorgi-Nash-Moser theorem）
/ deh-JOR-jee nash MO-zer /
史考德與卡爾德隆-齊格蒙德估計都仰賴係數平滑、或至少賀德爾連續。但大自然往往沒這麼整潔——複合材料、多孔岩石與湍流介質的導熱率劇烈跳變，僅僅有界可測，毫無連續性。對這類算子，增益兩階導數根本不成立。德喬治-納什-莫澤定理是在這粗糙情形下拯救正則性的深刻結果：一致橢圓散度形式方程在有界可測係數下的弱解，自動是賀德爾連續的，儘管係數並非如此。
精確地說，對 - div(A(x) grad u) = 0，其中 A 一致橢圓但僅有界可測，則任何弱解 u 在局部是 C^(0,alpha)，其中某指數 alpha 大於零且僅依賴維數與橢圓性常數 lambda 和 Lambda——不依賴 A 的任何連續性模（根本沒有）。約於 1957 至 1961 年間，三人各自以不同方式抵達此結果：恩尼奧·德喬治用巧妙的等位集能量不等式（在各高度截斷 u 並追蹤截斷部分的能量如何縮小），約翰·納什用拋物流與熵的論證，於爾根·莫澤用一個迭代——莫澤迭代——它從二進球上的逆賀德爾不等式自舉出 u 越來越高的可積性，並直接導出哈納克不等式。奇蹟在於：一個一致的正賀德爾指數從毫無正則性的資料中浮現，純粹來自橢圓結構與雙邊界。
這條定理是現代非線性橢圓理論的基石，並解決了希爾伯特第十九問題（解析變分積分極小元的正則性）。凡是無法假設係數平滑之處它都不可或缺：複合材料的均質化、粗糙或隨機介質中的方程、以及凍結度量後對極小曲面與調和映射的分析。它導出的哈納克不等式——以僅依賴 lambda、Lambda 與維數的常數，比較正解在一球上的最大值與最小值——是此結果定性的核心，並立即蘊含賀德爾連續性。
想像一種棋盤狀材料中的熱傳導，黑格上導熱率為 1、白格上為 100，越過每條邊都不連續地跳變。穩態溫度以這個劇烈不連續的 A 滿足 - div(A grad u) = 0。沒有任何史考德估計適用。然而德喬治-納什-莫澤保證溫度仍是賀德爾連續的，其指數僅依賴比值 100 與維數——解不可能有跳變，儘管材料有。
不連續的介質，連續的解——賀德爾正則性僅依賴橢圓性的界。
此定理給出 u 本身的賀德爾連續性，而非其導數的——在僅可測的 A 下，你通常連一階連續導數都得不到，遑論兩階。它本質上也是散度形式、純量方程的結果；非散度形式的對應（克雷洛夫-薩福諾夫定理）是另一回事，而對方程組，結論可能徹底失效（德喬治自己後來的反例）。