史考德估計（Schauder estimates）
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史考德估計是用賀德爾尺度寫成的橢圓方程正則性理論——它是古典逐點平滑性的自然語言。一個函數若其在小距離 r 上的變化受 r^alpha 控制，便稱為以指數 alpha 賀德爾連續；賀德爾空間 C^(2,alpha) 蒐羅那些二階導數為賀德爾連續的函數。史考德理論回答一個精確的問題：若橢圓方程的資料與係數都賀德爾連續，解究竟有多平滑？
答案仍是增益兩階導數，只是現在以賀德爾範數來度量。內部史考德估計說：若 L u = f，其中 L 一致橢圓、係數屬於 C^(0,alpha)（賀德爾連續），且 f 屬於 C^(0,alpha)，則 u 在任一內部子區域上屬於 C^(2,alpha)，並有界——u 在較小球上的 C^(2,alpha) 範數不大於某常數乘 (f 的 C^(0,alpha) 範數加上 u 的上確界範數)。還有相配的邊界版本：若另外邊界與邊界資料皆為 C^(2,alpha)，估計便一路成立到邊界。其證明立基於一個漂亮的想法——把係數凍結在某一點使算子變成常係數，用那個凍結算子的顯式估計，再把係數的變化當作一個受賀德爾控制的小擾動處理。
為何要 C^(0,alpha) 而不僅是連續？因為對「連續但非賀德爾」的資料，赤裸的增益失效——存在連續的 f，使得 - Laplacian u = f 的解並非二階連續可微。賀德爾指數正是讓兩階導數增益走得通所需的那一點額外連續性模。史考德估計是把弱解升級為古典 C^2 解的標準途徑，是非線性問題存在性證明背後的主力（透過連續性方法與不動點定理），也是索伯列夫 H^k 與 L^p 的卡爾德隆-齊格蒙德估計在賀德爾尺度上的搭檔。
取單位球上的 - Laplacian u = f，其中 f 屬於 C^(0, 1/2)（賀德爾指數二分之一）。史考德估計保證 u 屬於 C^(2, 1/2)：不只二階可微，且其二階導數本身以同一指數賀德爾連續。若 f 僅僅連續，這可能失效——一個經典反例造出連續的 f，其解的二階導數無界。
賀德爾資料買到 C^(2,alpha) 的解；僅僅連續的資料則不行——指數至關重要。
史考德常數在 alpha 趨近 0 或 1 時爆掉，這正是端點失效的原因。在 alpha = 0（僅連續）與 alpha = 1（利普希茲）時，乾淨的兩階導數增益是錯的；史考德理論嚴格地活在開區間 0 < alpha < 1 內，而那個限制並非技術細節，而是事情的真相。