平衡點的指標（index of an equilibrium）

繞著一個平衡點走一小圈，沿途盯著向量場的小箭頭看——它們會擺來擺去，等你回到起點時，它們總共轉過某個整數圈。那個計算箭頭淨轉圈數的整數，就是該平衡點的指標。它是一個穩健的「拓樸指紋」，你晃動系統時它不變，並把一個迴圈所圍的所有平衡點綁在一起。

計算方法是：取一條繞平衡點逆時針一圈的小閉曲線，內部不含其他平衡點。當你沿曲線前進時，場向量 (f, g) 的方向角連續變化；指標就是該角度的總變化除以 2 pi——即箭頭做的逆時針淨旋轉圈數。結點、焦點與中心各有指標 +1（箭頭做一個完整正向轉），而鞍點有指標 -1（箭頭倒轉一圈）。對較大的迴圈，指標等於其內部所有平衡點指標之和——指標就是直接相加。

這套記帳法免費給出意外地強的結論。因為任何閉軌所圍的總指標必為 +1，閉軌必須環繞指標和為 +1 的平衡點——所以它絕不能只圍一個鞍點，且必須至少圍住一個平衡點。這是排除某些區域內週期軌道的快速、不依座標的方法，與本迪克松判據互補。指標讓我們瞥見拓樸如何約束動力學：光是數轉圈數就禁止了整類行為，而不必解任何東西。