埃爾米特插值（Hermite interpolation）

普通插值在每個點只匹配函數的「高度」。但你往往知道更多——在每個樣本上你也知道「斜率」（導數）。埃爾米特插值建出一個同時匹配節點上的值「與」導數的多項式，使曲線不僅穿過每個點，還以恰好正確的方向離開它。

在 n + 1 個節點上各匹配值與一階導數，給出 2(n + 1) 個條件，所以插值多項式的次數至多為 2n + 1。有個漂亮的計算法：把牛頓差商表延伸，將每個節點列「兩次」（一張「合流」表），並把重複節點的差商定義為導數 f'(x_i)——表的其餘部分自行建立，埃爾米特多項式便由此而出。經典的小例子是單一區間上的「三次」埃爾米特：給定兩端點及其值與斜率 (y_0, m_0) 與 (y_1, m_1)，唯一一個三次式匹配全部四項，可用三次埃爾米特基底函數（在兩端的值與斜率為 1 或 0 的「h」函數）漂亮地寫出。把這樣的三次式一段段串起來，每區間一個，就得到一條埃爾米特「樣條」——平滑（C^1）且完全「局部」，因為每段只需自己兩個端點的資料。

埃爾米特插值在圖學與動畫中無所不在：一個關鍵影格指定一個位置「與」一個速度，而其間的運動就是一條三次埃爾米特（或等價的 Bezier／Catmull-Rom）曲線。當導數已知或可估計時，它是自然的工具，也是保形方案的基礎：藉巧妙地選擇斜率 m_i（例如用單調的 PCHIP 規則），你得到一個從不過衝、且在資料單調處保持單調的插值——這是三次樣條無法承諾的。相對於完整三次樣條的誠實取捨：埃爾米特樣條只有 C^1（匹配斜率但不匹配曲率），所以可能有可見的曲率跳變，而全域三次樣條是 C^2、更平滑，但把所有資料耦合在一起，且可能過衝。