三次樣條（cubic spline）

製圖師從前用一條細而可彎的木條或金屬條——「樣條」——穿過點畫出平滑曲線，並在資料點上用重物壓住。這條彈片自然地安頓成最平滑的形狀。三次樣條是那條彈片的數學版本：一條由三次多項式片段組成的曲線，接得如此平滑，使接縫隱於無形。

在每一對相鄰節點之間，你用一個不同的三次多項式。接著在每個內部節點以三個條件把它們縫合：片段必須「相接」（值連續）、有相同的「斜率」（一階導數連續）、以及相同的「曲率」（二階導數連續）。同時匹配值、斜率「與」曲率，正是使三次樣條在肉眼看來完美平滑的原因，不像分段線性擬合的轉角。這些匹配條件加上穿過所有資料，構成一個有兩個剩餘自由度的方程組，由端點條件固定：「自然」樣條把兩端的二階導數設為零（它伸直，像木條的自由端）；「夾持」樣條則把每端的斜率固定為指定值。整個方程組化約為以未知二階導數為變數的「三對角」線性方程組，用 Thomas 演算法以 O(n) 時間求解——即使點很多也快。

三次樣條是科學與圖學中預設的平滑插值，背後有個深刻的理由：在「所有」穿過資料的二次可微函數中，自然三次樣條是使總彎曲能量（(f'')^2 的積分）最小化者——它可證明是「最不搖擺」的插值，正是放鬆木條的精確數學迴響。關鍵在於，因為每一段都是低次且局部的，樣條「不」受龍格現象之害，也絕不會隨加點而爆炸。誠實的提醒：樣條在差異很大的點之間仍可能略微過衝（它不保證單調），若你的資料本應單調或受形狀約束，你可能會想改用單調的（埃爾米特）變體。