大皮卡定理（the great Picard theorem）
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在本性奇點附近——一個全純函數真正狂亂之處，例如 e^(1/z) 的 z = 0——值究竟能有多混亂？卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯定理已說它們任意接近每個複數。大皮卡定理走得遠得多：在本性奇點的每個微小去心鄰域中，函數實際上取遍每個複數值，至多一個例外，並且每個都取無窮多次。不只是「接近」——而是確實擊中，一再地，在繞那壞點的任何縮小圓盤中。
精確地說：設 f 在去心圓盤 0 < |z - z_0| < delta 上全純，且在 z_0 處有本性奇點。則對每個複數值 w，至多除一個例外的 w，方程 f(z) = w 有無窮多個聚集於 z_0 的解 z。所以無論你取多小的半徑；在那個去心圓盤上 f 已經（無窮多次地）取遍除至多一個之外的每個值。無窮遠處的指數是範例：e^(1/z) 在 0 處有本性奇點，在 0 的任何鄰域中它取每個非零值無窮多次，卻從不取值 0。小皮卡定理是這個局部陳述的全域影子——在無窮遠處有本性奇點的整函數繼承了同樣的一值限制。
大皮卡定理是衡量本性奇點有多猛烈的決定性尺度，並乾淨地分開三種孤立奇點：在可去奇點處 f 保持有界；在極點處 f 趨於無窮（取很大的值，但漏掉有限多個值的鄰域）；在本性奇點處 f 狂亂到幾乎擊中一切、無窮多次。其證明確實困難——它依賴關於正規族的蒙泰爾定理與模函數，遠超初等方法。要尊重的精確提醒：又是「至多一個」例外、又是「無窮多次」，而且奇點必須是本性的——極點不這樣行為，因為極點附近 f 只是奔向無窮並漏掉一整個值的鄰域。
看 f(z) = e^(1/z) 在 z = 0 附近，這是本性奇點。對任何不為 0 的 w 解 e^(1/z) = w：取 1/z = log|w| + i(arg w + 2 pi k)（對每個整數 k），給出無窮多個解 z = 1 / (log|w| + i(arg w + 2 pi k))，它們堆積在 0。每個非零 w 在繞 0 的任何圓盤中都被取無窮多次；只有 w = 0 被漏掉。這就是大皮卡定理的完全顯式版本。
在其本性奇點的任何鄰域中，e^(1/z) 取每個非零值無窮多次。
這種狂亂是本性奇點特有的——在極點處 f 只是趨於無窮並漏掉一整個值的鄰域，所以大皮卡定理在那裡不適用。而「至多一個」例外是精確的，再次由 e^(1/z) 漏掉的值 0 見證。