卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯定理（Casorati-Weierstrass theorem）
/ kah-zoh-RAH-tee VY-er-shtrahss /
在極點附近函數做一件整潔的事：它奔向無窮。在本性奇點附近它做的恰恰相反——它跑遍各處。卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯定理把這點刻畫得鮮明：無論你放大進本性奇點多麼小的鄰域，函數的值都把複平面填得如此稠密，以致於任意逼近每一個複數。
精確地說：若 z_0 是 f 的本性奇點，則對任何去心鄰域 0 < |z - z_0| < delta（無論多小），f 在該鄰域上的像在複平面上稠密。「稠密」的意思是：任取一個目標複數 w 與任何容差 epsilon，你都能在該鄰域中找到一點 z 使得 |f(z) - w| < epsilon。所以 f 不迴避任何區域；它把值噴灑到各處，緊貼著每一個值。證明是一個乾淨的反證：若 f 在該鄰域上與某個 w 始終保持至少 epsilon 的距離，則 1/(f(z) - w) 有界，依黎曼定理便有可去奇點，這將迫使 f 在 z_0 處至多有一個極點——與 z_0 是本性的相矛盾。
這條定理是極點與本性奇點之間的銳利分界線。極點以受控的方式迴避無窮的某個鄰域；本性奇點什麼都不迴避。它也是一道門：它是更深刻得多的皮卡定理的初等表親，後者把「任意逼近每一個值」換成令人震驚的「實際取到每一個值，至多除一個例外」。卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯是你能徒手證明的；皮卡則需要重型機器。
對 f(z) = e^(1/z) 在 0 附近：想要一個接近 5 的值？解 e^(1/z) = 5，即 1/z = ln 5 + 2 pi i n，得 z = 1/(ln 5 + 2 pi i n)。對大的 n，這些 z 要多接近 0 就有多接近，而 f 在那裡恰好命中 5——對 0 以外的任何目標同樣成立。
在繞 0 的任意圓盤內，e^(1/z) 取到任意逼近（此處恰好等於）每個目標的值。
卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯說的是值任意逼近每個 w，而非每個 w 都被命中——那個更強的陳述（至多除一個外每個值都真被取到）是皮卡定理，那確實更深刻。