梯度系統（gradient system）

想像一顆球永遠在一片地景上直直往下坡滾，每一步都走最陡的下降方向。它永遠繞不回出發點，因為每一步都嚴格降低它的高度。梯度系統就是這幅圖像的動力學版本：運動直接由一個高度函數的斜率驅動，所以系統只能一路「下坡」、永不成迴圈。

形式上，若一個系統能寫成 x' = -grad V(x)，其中 V 是純量勢函數、grad V 是它的梯度（指向最陡增加方向的向量），則它是梯度系統。負號使狀態沿 V 最陡下降的方向移動。沿任何軌跡，勢滿足 V' = (grad V) · x' = -(grad V) · (grad V) = -|grad V|^2，小於等於零——V 永遠不增，除平衡點外嚴格遞減，而平衡點恰好是 V 的臨界點（grad V = 0 之處）。所以 V 是一個內建的李雅普諾夫函數，免費奉送給你。

後果是全面性的：梯度系統根本不可能有閉軌、也不可能有任何極限環，因為回到出發點需要 V 回到出發值，但 V 只會遞減。平衡點是地景的極大、極小與鞍點：極小是漸近穩定的（你滾進去的山谷），極大是不穩定的（山頂），鞍點不穩定。梯度系統出現在最佳化（梯度下降正是這種流）、物理中作為過阻尼運動，並作為與哈密頓系統最乾淨的對照——後者反而守恆其能量、永遠繞圈。