哈密頓系統（Hamiltonian system）
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想像一個無摩擦、能量永不流失的世界：真空中的鐘擺永遠擺動，行星繞行卻永不盤旋墜入。在這樣的世界裡總能量是固定的，運動被永久困在等能量的面上。哈密頓系統就是這種守恆能量運動的精確架構，圍繞單一函數——哈密頓量——組織起來，而它扮演總能量的角色。
形式上，狀態分成位置 x 與動量 y，方程取一種特殊的成對形式：x' = ∂H/∂y、y' = -∂H/∂x，其中 H(x,y) 是哈密頓量。這巧妙的配對迫使能量守恆：沿任何軌跡，H' = (∂H/∂x) x' + (∂H/∂y) y' = (∂H/∂x)(∂H/∂y) + (∂H/∂y)(-∂H/∂x) = 0。所以 H 在每個解上恰好保持不變——軌跡正是 H 的等高線，能量地景的等位線。此流在相平面中也保持面積（劉維定理），故既不能向匯收縮、也不能從源擴張。
因為能量不能衰減，哈密頓系統沒有漸近穩定的平衡點、也沒有極限環——每個非退化平衡點要嘛是鞍點（能量鞍道），要嘛是中心（被閉軌環繞的能量極小或極大）。這是與梯度系統的深刻對照，後者能量只遞減、運動永遠下降。哈密頓力學是物理的骨幹——天體力學、光學，以及通往量子理論的橋樑——並解釋了為什麼無阻尼非線性鐘擺有一個真正的中心（它的能量等高線確實閉合），而非任何微小阻尼會造成的螺旋。
無阻尼鐘擺 x' = y、y' = -sin(x) 是哈密頓系統，H = (1/2)y^2 + (1 - cos x)；軌跡沿等 H 曲線——低能量時是閉迴圈（擺動），高能量時是波浪線（整圈旋轉）。
能量 H 守恆，故軌跡是它的等位線；平衡點是中心或鞍點，絕非匯。
能量守恆正是哈密頓系統不可能有漸近穩定平衡點、也不可能有極限環的原因——那需要能量遞減。加上一點點阻尼，系統就不再是哈密頓的，把中心變成螺旋。