測地距離

測地線是流形上兩點間最短且留在流形內的曲線，其長度即測地距離，是歐氏直線距離在流形上的對應物。在仿射不變度量下，SPD 矩陣 P 與 Q 之間的測地線有閉式解 gamma(t) = P^{1/2} (P^{-1/2} Q P^{-1/2})^t P^{1/2}（t 介於 0 與 1），距離為 || log(P^{-1/2} Q P^{-1/2}) ||_F。

使用測地距離而非歐氏距離，才讓共變異數的比較有意義：測地路徑永不離開 SPD 錐，距離也繼承了仿射不變性。不同度量（仿射不變、對數歐氏、Bures-Wasserstein）定義不同的測地線、進而不同的距離與平均；度量的選擇是在不變性與計算成本間取捨。