三角不等式

三角不等式是幾何上「直路最短」的陳述。對任意三角形，一邊的長度永遠小於另外兩邊之和——等價地說，從一個角直接走到另一個角，絕不會比繞經第三個角更長。一邊不可能長到讓另外兩邊伸不過去合攏成形。

嚴格地說：在任意三角形中，邊長 a、b、c 必須三式皆成立 a < b + c、b < a + c、c < a + b。反過來，三個給定長度能拼成真正的三角形，若且唯若最長的那個嚴格小於另外兩個之和——你只需檢查最長的那一個。理由是最短路徑的概念：兩點間的直線段比任何彎折路徑都短，而三角形的兩條短邊正好構成連接長邊兩端的這種彎折路徑。（若取等號，邊等於另外兩邊之和，三角形就被壓平成一條直線——一個退化、面積為零的「三角形」。）

這個小小的不等式無處不在：它判定三段棍子能否拼成三角形、它界定距離，而抽象為 |x + y| <= |x| + |y| 後，更成為高等數學中距離的定義公理之一。單一三角形裡的一個相關事實：最長邊永遠在最大角的對面，最短邊在最小角的對面。