外角定理

把三角形的一邊延伸越過某個頂點，就在三角形外側、延伸邊與相鄰邊之間張開一個角。這就是外角。外角定理對它有個乾淨的主張：三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角之和——也就是另外兩個頂點處的那兩個所謂的遠內角。

嚴格地說：在三角形 ABC 中，把邊 BC 延伸越過 C 到一點 D。外角 ACD 便滿足 m(角 ACD) = m(角 A) + m(角 B)。證明直接由內角和定理而來：角 ACD 與內角 ACB 構成線性對，所以 m(角 ACD) = 180 - m(角 ACB)；而內角和給出 m(角 A) + m(角 B) = 180 - m(角 ACB)；兩個右邊相等，所以外角等於兩個遠內角之和。一個好用的推論：外角嚴格大於任一個單獨的遠內角。

這個定理是追角以及關於最大角、最長邊證明中的常用工具。注意一個陷阱：定理是把外角與兩個遠內角配對，而不是與相鄰那個。相鄰的內角是外角的補角，而那對遠內角才與它相等——是不同的關係，很容易混淆。