奇異點（singular point）

用手指沿著大多數曲線滑過，它們摸起來都很平滑——在每一點上曲線都有一個明確的前進方向、一條切線。但有些曲線有壞點：一個曲線突然改變方向的尖角（尖點），或一個曲線自己穿過自己的地方（結點）。在這些點上曲線沒有單一個確定的切線。這樣的點稱為奇異點，而在其餘各處曲線都是平滑的（也稱正則或非奇異）。奇異點正是曲線行為失常之處。

以下是精確的判別法，而且很具體。把曲線寫成 f(x, y) = 0。算出兩個偏導數 f_x（把 y 視為常數）與 f_y（把 x 視為常數）。曲線上一點是「奇異」的，當兩個偏導數在該處同時為零：f_x = 0 且 f_y = 0，同時 f = 0。若至少有一個偏導數不為零，隱函數的機制便交給你一條唯一的切線，該點是平滑的。當兩者皆為零時，線性近似崩解，切線方向無法確定，你便得到一個結點（兩條分支相交、兩個切線方向）、一個尖點（一道尖刺，兩條切線合而為一），或更糟者。對 y^2 = x^3，原點是個尖點：f = y^2 - x^3，f_x = -3x^2 = 0 且 f_y = 2y = 0 在 (0, 0) 同時成立。

奇異點是核心，而非該被掃到一旁的麻煩：一條曲線最深刻的不變量（它的虧格、它如何置於空間中）都依賴它們，而「奇異點解消」——以受控的程序把它們抹平——是代數幾何的一大主題，廣中平祐（Heisuke Hironaka）更因此獲頒費爾茲獎。一個有用而誠實的警告：奇異性是「方程式」幾何的性質，而非畫面乍看之下的樣子。一條曲線可能在肉眼看來完全平滑，卻以唯有導數才揭露的方式為奇異；反過來，潦草手繪中的一個自交，也可能只是兩條真正分開的分支近距離經過而已。