代數曲線（algebraic curve）

畫一個圓，你其實不必指著它就能描述它：它正是使 x^2 + y^2 = 1 成立的所有點 (x, y) 所成的集合。方程式替你完成了描述。代數曲線把這個想法推到極致：它是平面上使某個關於 x、y 的多項式方程式等於零的所有點所成的集合。直線（ax + by + c = 0）、圓、拋物線（y - x^2 = 0）、八字形、尖點——全都是代數曲線，每一條都是某個多項式的「零集」。幾何於是變成一場關於多項式的對話。

更精確地說，固定一個多項式 f(x, y)——它是像 3x^2y、-5xy 或 7 這類項的有限和——曲線就是所有滿足 f(x, y) = 0 的 (x, y) 的軌跡。曲線的「次數」是各項中最高的總次數（x^2y 的總次數為 3），它幾乎決定了一切：一次是直線，二次是圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線），三次是三次曲線（其中包含現代密碼學背後的橢圓曲線）。若一條曲線的多項式無法分解成兩個更低次多項式的乘積，則稱它為「不可約」；若 f = g 乘 h，這條曲線其實是兩條曲線疊在一起（g = 0 連同 h = 0）。在複數上運作，並在射影平面中加入無窮遠點，會讓理論變得乾淨——在那裡，交點數與次數的關係毫無惱人的例外。

代數曲線是通往代數幾何的大門，那是數學中最深刻的學科之一，而它們也確實有用：橢圓曲線保護網際網路流量的安全，而曲線可依一個稱為虧格的整數分類，把代數與拓樸緊緊相連。一個誠實的提醒：在實數上，多項式的零集可能出人意料。x^2 + y^2 = 0 只有單一點 (0, 0)，而 x^2 + y^2 + 1 = 0 根本沒有任何實點，但兩者在代數上都是「二次曲線」。口號「曲線是一個你能畫出來的一維東西」是個不錯的初步圖像，卻不是定義——定義是零集，而在實數上它可能縮成一點或乾脆消失。