圓錐曲線作為圓錐的平面截痕（conic as a plane section）

為什麼拋物線、橢圓與雙曲線被歸在同一個名稱「圓錐曲線」之下？因為古希臘人發現它們全都來自用一個平面去切一個物件——圓錐——再看切痕與曲面相遇處的曲線。把切割平面傾斜成不同角度，同一個圓錐便依序產生所有這些曲線。這正是三者為何是手足的原始、幾何上的理由。

取一個雙圓錐：兩個圓錐尖頂相接於共同頂點、向兩方無限延伸，像個沒有腰的沙漏。現在用一個平面去切，觀察切痕的邊緣。垂直於軸橫切，得到圓。把平面稍微傾斜、傾斜得比圓錐側面平緩，圓便拉長成封閉的橢圓。把它傾斜得恰好平行於圓錐的一條母線，曲線便再也無法閉合——化為單一張開的拋物線。傾斜得更陡，使平面同時切到雙圓錐的兩半，便切出兩條分離的開曲線——雙曲線的兩支。若平面恰好通過頂點本身，便得到退化情形：一個點、一條線，或交叉的一對線。

這幅圖揭示深刻的統一：一個圓錐、一個移動的平面、純粹由切割角度分類出的四種曲線。依離心率（e = 0、0 < e < 1、e = 1、e > 1）的分類，正是這種幾何傾斜的代數迴響。把這個「切圓錐」定義與焦點-準線定義、焦距定義連結起來的奇妙橋樑，由旦德林球提供。