雙曲線（hyperbola）
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把燈靠近牆，光錐在牆上投出一條向外張開卻永不閉合的彎曲邊緣；彗星掠過太陽一次便不再回頭的路徑；y = 1/x 的圖形。每一個都是雙曲線——一種分成兩支、互為鏡像、各自永遠向外張開的圓錐曲線。
它的焦點定義與橢圓相仿，只是把「和」換成「差」：雙曲線是所有使「兩段焦距之差為定值」的點 P 所成的集合，即 | |PF_1| - |PF_2| | = 2a。把兩焦點放在 x 軸上的 (-c, 0) 與 (c, 0)，標準式為 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（注意那個減號——正是它把曲線分成兩支），此時 c^2 = a^2 + b^2，故 c > a。中心是兩焦點的中點，兩頂點位於 (-a, 0) 與 (a, 0)，而遠離中心時，兩支緊貼著兩條稱為漸近線的直線 y = +-(b/a)x，曲線無限趨近卻永不觸及。
為何重要：雙曲線的離心率 e > 1，是圓錐曲線族張開的那一端。彗星與沿脫離軌道飛行的太空船描出雙曲線；像舊的 LORAN 與 GPS 等導航系統，藉由交會多條「訊號到達時間差為定值」的雙曲線來定位。雙曲線的反射性質——朝向遠端（虛）焦點射入的光線會反射向近端焦點——用於卡塞格林望遠鏡。
對於 x^2/16 - y^2/9 = 1，讀出 a^2 = 16、b^2 = 9，故 a = 4、b = 3。再由 c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 得 c = 5：兩焦點為 (-5, 0) 與 (5, 0)。兩頂點為 (-4, 0) 與 (4, 0)，兩漸近線為 y = +-(3/4)x。在頂點 (4, 0)，兩段焦距為 |4 - (-5)| = 9 與 |4 - 5| = 1；其差為 8 = 2a。
減號、兩支、c^2 = a^2 + b^2——雙曲線的標誌。
別把雙曲線的關係 c^2 = a^2 + b^2 與橢圓的 c^2 = a^2 - b^2 搞混。雙曲線中 c 最大（焦點在頂點之外）；橢圓中 a 最大（焦點在內部）。