旦德林球（Dandelin spheres）
/ dahn-duh-LAN /
這裡有一個真正的幾何「靈光一閃」。希臘人從兩種方式認識圓錐曲線——作為圓錐的切痕、以及由焦點定義的曲線——但兩者是否為同一批曲線並不顯然。1822 年，旦德林（Germinal Dandelin）用兩個塞進圓錐內的球面找到一個令人屏息的證明，是全部初等幾何中最美的論證之一。
想像用一個平面切圓錐造出，譬如說，一個橢圓。現在把一個球塞進切割平面上方的圓錐內，使它膨脹到剛好在一點觸及該平面，並沿一整圈圓緊貼圓錐；再把第二個球塞進下方，做同樣的事。這就是旦德林球。論點是：兩球觸及平面的那兩個點，恰好是橢圓的兩焦點。證明仰賴一個初等事實——從外部一點到一球的兩條切線等長。取曲線上任一點 P，畫一條從圓錐頂點過 P 沿曲面而下的線；這條線在上球的切圓處觸及上球，同樣地觸及下球。P 到上焦點的距離等於 P 到上球的切線長，後者又等於沿圓錐曲面從 P 上到上切圓的距離；下方亦然。兩者相加得到沿圓錐、上下兩切圓之間的距離——一個不依賴你選哪個 P 的定值。於是 |PF_1| + |PF_2| 為定值：這道切痕滿足焦距定義。
這單一想法把三種定義繫在一起：同樣的構造對拋物線（一個球）與雙曲線（每一葉各一球）都成立，甚至把準線釘在球的切圓所在的平面上。這就是「圓錐切痕」與「有焦點的曲線」命名同一批物件的證明——並非巧合，而是一條定理。
對橢圓，兩個內切球在 F_1 與 F_2 觸及切割平面。對橢圓上任一 P，|PF_1| 等於沿圓錐從 P 向上到上球接觸圓的母線距離，|PF_2| 等於向下到下接觸圓的母線距離。兩者之和是兩接觸圓之間固定的母線間隙——對每個 P 都相同，恰為 2a。
切線等長使 |PF_1| + |PF_2| 之和成為定值——焦距定義，由此得證。
整個證明只倚靠一條引理：從固定外部一點到一球的所有切線段等長。這不是魔術——只是把那一條初等事實用了兩次，每個球各一次。