極座標

你指路時很少說「往東走三個街區、往北走四個街區」——你會說「朝那個方向走五個街區」。後面這種說法，一個距離加一個方向，正是極座標的核心；它是常見方格座標的替代品，用「多遠、哪個方向」而非「左右、上下」來釘住一個點。

一點寫成 (r, theta)：r 是到一個固定中心（稱為極點，即原點）的距離，theta 是到該點的連線與一條固定參考方向（正 x 軸）所成的角，逆時針量起。所以 (3, 90 度) 意為「向外走 3 單位、朝 90 度方向」，正好落在正上方。與普通直角座標互換，用的正是單位圓關係：去程為 x = r cos theta、y = r sin theta；回程為 r = sqrt(x^2 + y^2)、theta = arctan(y/x)（依象限調整）。與直角座標不同，極座標的地址並不唯一：同一點有許多名字，因為 theta 加 360 度會回到同一處，而負的 r 表示「往反方向走」，所以 (−3, 90 度) 等於 (3, 270 度)。

每當問題具有對稱中心——圓周運動、雷達與聲納、天線方向圖、螺線、行星軌道——極座標就大放異彩。在 x、y 中亂成一團的曲線，往往在 r、theta 中變成一條乾淨的方程式。要留意兩件事：名字的非唯一性，以及求 theta 時的象限修正，因為單憑 arctan 分不出第三象限與第一象限。