反三角函數

普通三角函數把角變成比值：sin 30 度 = 0.5。我們常常需要反過來跑——已知比值、想求角。反三角函數做的正是這件事：arcsin(0.5) 把角 30 度交還給你。它們是你從三角形的邊反求角的方法。

寫作 arcsin x（或 sin^-1 x）、arccos x、arctan x，它們回答「哪個角的正弦／餘弦／正切是這個值？」但有一個關鍵之處賦予它們性格。由於正弦會重複、在無窮多個角（30 度、150 度、390 度……）都取值 0.5，反函數不可能把它們全還回來又仍是函數。所以每個反函數被迫從一個受限範圍中只挑「一個」答案，稱為主值：arcsin 回傳 -90 到 90 度的角，arccos 回傳 0 到 180 度，arctan 回傳 -90 到 90 度。因此 arcsin(0.5) = 30 度，絕不是 150 度，儘管 sin 150 度同樣是 0.5。注意警示：記號 sin^-1 x 指的是反函數，「不是」1/sin x（那是 csc x）——這是惡名昭彰的記號衝突。

每當你為未知角解三角形、從量得的距離求仰角、或解三角方程式時，這些函數都不可或缺。反覆出現的陷阱是受限範圍：計算機只給主值，所以當真實問題可能有落在該範圍外的角（例如三角形中的鈍角）時，你必須自己用參考角與週期性補上其他解。