由奇异值得到弗罗贝尼乌斯范数

弗罗贝尼乌斯范数是度量矩阵最接地气的方式：把它的元素当成一根长向量，取普通的欧几里得长度。||A||_F = sqrt(所有 a_ij^2 之和)。它是矩阵的总能量，对每个元素一视同仁——用一个数说明整个阵列有多大。

经由 SVD 它有了更干净的面貌：||A||_F = sqrt(sigma_1^2 + sigma_2^2 + ... + sigma_r^2)。元素平方和等于奇异值平方和。这是 Schatten 2 范数，是谱范数（Schatten 无穷）与核范数（Schatten 1）的搭档——同样的平方和之根，只是用在奇异值而非原始元素上。

它之所以成立的深层原因是旋转不变性。对任意正交 U 与 V，||U A V^T||_F = ||A||_F——乘以正交矩阵不改变弗罗贝尼乌斯范数，因为正交映射保持长度。由于 A = U Sigma V^T，A 的范数等于 Sigma 的范数，而 Sigma 唯一的非零元素就是对角线上的奇异值。于是得到奇异值平方和的公式。

等价地，||A||_F^2 = trace(A^T A) = A^T A 特征值之和 = sigma_i^2 之和——同一份能量的三种说法。这正是埃卡特-杨弗罗贝尼乌斯情形所最小化的范数，也是当你在意整体拟合而非最坏情形拉伸时，逼近误差的自然度量。