由 SVD 得到谱范数

一个矩阵有多大？不是逐元素地看，而是作为变换来看——它能把一个向量放大多少？谱范数回答了这个问题：||A||_2 = max（在 ||x|| = 1 上）||Ax||。它是 A 施加给任意单位向量的最大拉伸，即映射的最坏增益。而 SVD 让它一目了然：||A||_2 = sigma_1，即最大奇异值。

原因在于 SVD 的几何。A 把单位球变成一个椭球，其各半轴的长度等于诸奇异值；最长的半轴是 sigma_1，恰在第一个右奇异向量 v_1 的方向上达到（它落到 sigma_1 u_1 上）。没有任何单位输入能被拉伸得更多，而 v_1 正好命中最大值，故算子范数恰为 sigma_1。

这是由向量上的欧几里得范数所诱导的算子范数，故有下标 2。它确实是矩阵上的一个范数——满足三角不等式，更关键的是它次可乘：||AB||_2 <= ||A||_2 ||B||_2。正是这种次可乘性使它成为界定误差在线性操作链中传播的主力。

把它和弗罗贝尼乌斯范数对比：后者把所有奇异值的平方相加；谱范数只在乎那单个最大的。所以谱范数度量最坏情形的拉伸，而弗罗贝尼乌斯度量总能量。做敏感性与稳定性分析时你通常想要谱范数，因为它是 A 能把输入放大多少的紧界。