莫比烏斯變換的不動點
當一個映射把平面攪動一番時，它原地不動的那些點幾乎道盡了映射的行為方式。變換的不動點是滿足 f(z) = z 的點 z——映射讓它靜止不動。對莫比烏斯變換而言，這些錨點既易尋找又極具資訊量：找到它們，你一眼就能讀出映射全部的動力學特性。
要找 w = (a z + b)/(c z + d) 的不動點，令輸出等於輸入：(a z + b)/(c z + d) = z。消去分母得 c z^2 + (d - a) z - b = 0，一個二次方程。二次方程至多有兩根，因此非恆等的莫比烏斯映射至多有兩個不動點（當 c = 0 時，無窮遠自動為不動點，再解一個線性方程求另一個）。這是一個驚人的剛性結果：若一個莫比烏斯映射固定三個相異點，它必為固定一切的恆等映射。對任何非平凡映射而言，三個就多了一個。
不動點的數目與類型把映射分類。兩個相異不動點：依一個稱為乘子（multiplier）的數，映射是斜駛型（loxodromic）、雙曲型或橢圓型——點從一個不動點（排斥點）流向另一個（吸引點），或許還旋繞。一個重根不動點：映射是拋物型，一種沿著在該單一點相切的圓滑動點的剪切。這幅「不動點圖像」是理解、甚至徒手描繪莫比烏斯映射作用的最快方法，並支撐著映射如何搬運圓盤或半平面的幾何。一個警告：務必在擴充平面上工作——無窮遠算作一個可能的不動點，忘了它就會數錯。
映射 w = (z - 1)/(z + 1) 的不動點滿足 (z - 1)/(z + 1) = z，即 z^2 + z = z - 1，得 z^2 = -1，故 z = i 與 z = -i。兩個相異不動點（這裡都是有限的）——因此此映射把點從其中一個流向另一個。
解 f(z) = z 化為一個二次方程，因此非恆等的莫比烏斯映射至多有兩個不動點。
至多兩個不動點，正是三點決定一個莫比烏斯映射的原因：若兩個映射在三點上相同，則它們的合成（一個接另一個的反函數）會固定三點而成為恆等映射，逼使兩映射相等。