域公理

域公理是一份简短的规则清单，它声明算术运算的表现和你在学校学到的一样。它们保证加法和乘法都满足交换律与结合律，存在特殊的数零与一，每个数都有相反数，每个非零数都有倒数，并且乘法对加法满足分配律。

细致地说，域是一个带有加法与乘法两种运算的集合，满足：两种运算都满足结合律与交换律；加法有单位元 0，每个元素 a 有加法逆元负 a；乘法有不同于 0 的单位元 1，每个非零元素有乘法逆元；并且分配律成立，即 a 乘以 b 与 c 之和等于 a 乘 b 加 a 乘 c。这大约九条规则就是你从头证明代数事实时所能动用的全部。

有理数、实数和复数都是域。关键在于，域公理对序和极限只字未提，所以单凭它们无法刻画实数的特别之处。它们是代数地基，序与完备性是后来添加上去的。