尤拉多面體公式（Euler's polyhedron formula）

尤拉多面體公式是全數學中最迷人的事實之一：對任何帶平面的普通立體——立方體、角錐、足球的拼片圖案、切割過的寶石——只要你數它的角、邊、與平的面，那麼角數減邊數加面數總是等於 2。用符號寫，V - E + F = 2。立方體有 8 個角、12 條邊、6 個面：8 - 12 + 6 = 2。三角錐有 4、6、4：4 - 6 + 4 = 2。它每一次都成立，對誰也沒畫過的形狀也成立，而這份普遍性正是它感覺像魔術的原因。

為何總是恰好 2？因為每個這樣的多面體，不管多麼疙瘩，在拓樸上都是球面——你能像吹氣球一樣把它脹成一顆完美的球而不撕裂——而 V - E + F 這個量就是球面的尤拉示性數，球面上任何網都是 2。所以這公式其實根本不是關於多面體的；它是「球面的 chi = 2」這句話，披上了角與邊的外衣。要直接看出這個計數，你可以想像戳穿一個面、把整副骨架壓平到桌上成為一張平面網路，再驗證一次加一條邊或一個頂點都絲毫不擾動 V - E + F = 2。

尤拉約於 1750 年發現它，而它是整個拓樸學的歷史種子——第一個完全無視長度與角度、只關心各部分如何相連的關於形狀的定理。它很有力道：它立刻證明了正多面體恰有五種、不多不少，因為這公式加上「面須為正多邊形」的要求，只留下五種算術上的可能。誠實的告誡：這公式只對拓樸上是球面的多面體給出 2。一個有洞穿過的多面體（一個方框、一個相框狀的立體）在拓樸上是環面，那裡 V - E + F = 0，而非 2——右邊其實是 chi，它依虧格而定。